¿Conoces a dos personas que cumplen años el mismo día?
Supongo que habrás respondido que sí a esta pregunta. Si tu respuesta ha sido "no", hay dos posiblidades:
a) Conoces a poca gente
b) Eres un tío al que le pasan cosas raras
Una conversación con mi hermano menor, que ha empezado recientemente Ingeniería Informática, me recordó este problema que resolvimos en Matemáticas III.
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de K personas, haya dos que cumplan años el mismo día? ¿Apostarías una ronda de cervezas a que en un grupo pasa esto? ¿Apostarías a que no pasa?
Este problema no es muy complicado de resolver si entendemos el "mecanismo" del juego.
Utilizaremos un poco de combinatoria y dos reglas sencillas que estudiamos la primera vez que nos explicaron qué es eso de la probabilidad.
En lo referente a probabilidad, utilizaremos la definición clásica de Laplace que nos decía que, para sucesos equiprobables, la probabilidad de un suceso determinado A es:
Por otro, sabemos que la probabilidad de que "no se cumpla A" (la probabilidad del suceso contrario) es
En nuestro caso concreto de los cumpleaños, es mucho más sencillo calcular la probabilidad del suceso contrario. A partir de este, llegaremos al que buscábamos.
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de K personas, ninguna cumpla años el mismo día?
Casos favorables: Todas las formas diferentes de asignar K cumpleaños a K personas tal que las K personas cumplan años en días diferentes
Casos posibles: Todas las formas diferentes de asignar K cumpleaños a K personas.
Casos favorables
Por simplicidad conceptual vamos a imaginar que tengo un saco de "fechas de cumpleaños" y se los voy asignando a las personas. Mi saco tendrán 365 fechas escritas.
¿De cuántas formas soy capaz de asignar K cumpleaños diferentes a K personas?
Alguno ya habrá identificado esto con las "variaciones sin repetición" de combinatoria.
Para quien no haya identificado todavía el concepto de variación: Imaginad que tenéis una bolsa con 365 números escritos (uno por cada día del año) y que vais sacando números de 1 en 1 y se los vais dando a las K personas de una sala.
Cuando asigno una fecha de cumpleaños a una persona, no meteré su papel de nuevo en el saco porque no quiero que dos personas tengan la misma fecha.
Las variaciones son ordenaciones de un conjunto en las que "importa el orden". En el caso concreto que nos ocupa, el "orden" sí importa.
Es cierto que me daría igual que Pepe cumpla años el 1 de Enero y Juan el 2 de Enero o que fuera Juan quien cumpliera años el 1 de Enero y Pepe el 2; pero estas son dos posibilidades que puedo obtener con dos asignaciones diferentes y, por tanto, tengo que contar las dos.
Casos posibles
Continuando con el símil de la bolsa de los números, imaginad que después de asignar un número a cada persona, volviéramos a meter la papeleta en la bolsa del sorteo, de forma que también le pueda tocar (por qué no) esa fecha a la siguiente persona.
Esto es lo que pasa en la realidad. Que una persona haya "ocupado" una fecha de cumpleaños, no le impide a otra nacer el mismo día.
Vemos que el número de casos posibles es el número de variaciones con repetición de 365 elementos (cada una de las fechas del calendario) de los cuales tomo K (uno por persona).
Recordando que:
también que
y que
entonces
donde P(A) es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día.
En una hoja de cálculo he pegado los resultados de esta probabilidad en función del número K de personas del grupo. Los resultados pueden sorprender a más de uno:
K P(coincidir)
1 0,00000000
2 0,00273973
3 0,00820417
4 0,01635591
5 0,02713557
6 0,04046248
7 0,05623570
8 0,07433529
9 0,09462383
10 0,11694818
11 0,14114138
12 0,16702479
13 0,19441028
14 0,22310251
15 0,25290132
16 0,28360401
17 0,31500767
18 0,34691142
19 0,37911853
20 0,41143838
21 0,44368834
22 0,47569531
23 0,50729723
24 0,53834426
25 0,56869970
26 0,59824082
27 0,62685928
28 0,65446147
29 0,68096854
30 0,70631624
31 0,73045463
32 0,75334753
33 0,77497185
34 0,79531686
35 0,81438324
36 0,83218211
37 0,84873401
38 0,86406782
39 0,87821966
40 0,89123181
41 0,90315161
42 0,91403047
43 0,92392286
44 0,93288537
45 0,94097590
46 0,94825284
47 0,95477440
48 0,96059797
49 0,96577961
50 0,97037358
60 0,99412266
70 0,99915958
80 0,99991433
90 0,99999385
100 0,99999969
O sea, que a partir de que un grupo tiene 23 personas, ya hay más probabilidad de que dos cumplan años el mismo día de la probabilidad de que todos cumplan años en un día diferente.
Si el grupo es de 40 personas, la probabilidad de que les ganes la cerveza se eleva al 90%. Si tu grupo de amigos o conocido es numeroso, digamos de 60 personas, con un 99% de probabilidad dos cumplirán años el mismo día.
Si conoces a 120 personas, la probabilidad sube a 99 seguido de ¡seis nueves más!
Veámoslo en un gráfico. En el eje de las x vemos el tamaño del grupo de personas, y en el de las y la probabilidad de que dos personas al menos cumplan años el mismo día:
Volviendo a lo que decía al inicio de esta entrada: si no conoces a dos personas que cumplan años el mismo día, conoces a poca gente o eres un caso extraño de la naturaleza.
Fe de errores (o imprecisiones)
Evidentemente, esta exposición tiene alguna imperfección. No admitiré reclamaciones por apuestas perdidas :-)
La primera de ellas: Hay años bisiestos, lo que complica un poco el cálculo de probabilidades. Podríamos haber hecho el cáculo con años de 366 días, pero tampoco sería exacto.
El error más importante de todos: Para aplicar la regla de Laplace, los sucesos tienen que ser equiprobables, cosa que no ocurre en este caso.
No todos los días del año son igual de probables para que la gente cumpla años. Los encargos de Navidad se recogen en septiembre, los encargos de las vacaciones se recogen en Abril, etc. (fijáos en vuestro grupo de amigos y veréis que lo que digo es cierto). Estoy seguro de que hay estudios sobre esta materia y me encantaría echarles un vistazo, pero eso sería ya objeto de otro tema.
